IL MOTO DI UN PROIETTILE

Galileo è stato il primo a studiare in modo scientifico il moto di un proiettile dimostrando che la sua traiettoria è una parabola. I risultati ottenuti sono pubblicati nell'opera "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze".

Ricaviamo i risultati di Galileo mediante le equazioni della cinematica, tenendo conto solo delle forze gravitazionali che agiscono sul proiettile, considerato come un punto materiale, e trascurando l’attrito dell’aria.

Scegliamo un sistema di riferimento con l'asse delle y positivo verso l'alto, in modo che l'origine degli assi sia nel punto (x0 ,y0 ) = (0,0) di partenza del proiettile; le componenti dell'accelerazione saranno ax = 0, ay = - g.

Utilizzando la legge di caduta di un grave, ricaveremo la traiettoria di un proiettile, verificando che è una parabola e mostrandone poi alcune caratteristiche.

Il vettore velocità v nell'istante iniziale t = 0 ha modulo v0 ed è inclinato di un certo angolo θ rispetto alla direzione positiva dell'asse delle x; le sue componenti sono:

v_0x = v₀ cosθ

v_0y = v₀ senθ

La legge della cinematica che esprime la velocità in funzione del tempo t è (v(t) = v0 + at).
Poiché non esistendo componenti orizzontali dell'accelerazione, la componente orizzontale della velocità vx rimane costante, la componente verticale vy cambia nel tempo perché esiste un accelerazione costante diretta verso il basso (ay = - g):

vx = v0x

vy = v0y - gt

Il vettore velocità è tangente in ogni punto alla traiettoria; il suo modulo non è costante e si può ricavare applicando il teorema di Pitagora.

Le leggi della cinematica che descrivono il moto del proiettile nello spazio sono quelle di un moto rettilineo uniforme lungo x e uniformemente accelerato lungo y, indipendenti l'uno dall'altro. Quindi le coordinate del proiettile in forma parametrica (il parametro è il tempo t) in un generico istante t sono:

x (t) = v0xt

y (t) = v0yt – 1/2gt^2

Da queste equazione è possibile ottenere l'equazione della traiettoria in forma cartesiana, ricavando t dalla prima equazione e sostituendo nella seconda. Si ottiene l'equazione della traiettoria del proiettile:

che come si vede è una parabola rivolta verso il basso passante per l'origine degli assi. Una rappresentazione del moto con disegnate le componenti della velocità è mostrato nella figura sottostante.

Il vertice della parabola si può trovare matematicamente con la nota relazione V = (-b/2a; -Δ/4a). Ragionando da un punto di vista fisico, il vertice della parabola si ottiene imponendo che la velocità lungo y sia 0. Si trova allora il punto:

xM rappresenta l'ascissa del punto di massima altezza, yM l'altezza massima raggiunta dal proiettile.

Per calcolare la gittata, cioè il punto in cui il proiettile ricade sull'asse delle x, basta imporre y(x)=0, cioè fare l'intersezione della traiettoria parabolica del proiettile con l'asse delle x. Si ottengono due soluzioni:

La prima è ovviamente l'origine, la seconda è la gittata cercata.

Il tempo impiegato a percorrere xG è chiamato tempo di volo (tVolo) e coincide con il doppio del tempo necessario per salire all'altezza massima yM e ritornare al suolo:

tVolo = xG/v0x = 2xM/v0x.

Da notare che nella posizione in cui il proiettile tocca l'asse delle x, la velocità è la stessa in modulo di quella in partenza ma è simmetrica rispetto all'asse x.

L'angolo di lancio per cui la gittata è massima si può ottenere nel modo seguente:

sen2θ = 1 → 2θ = 90° → θ = 45°.